有理数和无理数是初中数学中比较常见的概念，那么它们之间到底有哪些本质上的区别呢？
首先我们来看看有理数。有理数是指可以表示为两个整数之商的数，例如$\frac{5}{3}$、$-\frac{7}{4}$等等。有理数有一个非常重要的性质，即有理数的表达式可以写成一个整系数多项式的根，例如$x-\frac{1}{2}$、$2x^2 3x-1$等等。
接下来我们再来说说无理数。无理数是指不能表示为两个整数之商的数，例如$\sqrt{2}$、$\pi$等等。无理数有一个非常重要的特征，即无理数在有理数范围内有无穷多的近似值，但是无理数本身不是任何一个有理数的近似值，例如$\pi$可以被$3.14$、$3.141$、$3.1415$无限趋近但永远无法等于这些近似值。
从上面两段话可以看出，有理数和无理数最本质的不同在于它们的表示方式和性质。有理数通常可以表示为一个整系数多项式的根，而无理数则无法以这种方式表示。而且无理数在有理数范围内有无穷多的近似值，但是无法表示为任何一个有理数的近似值。这也是为什么有理数和无理数之间的“断层”会导致实数的存在。
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